Двигатели
внутреннего сгорания

 
         

 

Главная
Основы конструирования
Расчеты
Силы и моменты
Поршневая группа
Шатуны и штоки
Коленчатые валы
Подшипники
Система газораспределения
Корпусные детали
Анализ конструкции
Устройство и
принцип действия

КШМ
ГРМ
Система смазки
Система охлаждения
Система питания
Система зажигания
Пуск двигателей
Увеличение мощности
Разное

Матрица

Матрица [А] называется обратной по отношению к [Л] матрицей, а ее отыскание называется обращением матрицы §Я Заметам, что [А].
Решение задачи МКЭ начинают с разбиения области, занимаемой деталью или их совокупностью, на конечные элементы. Этот метод применим для решения как одномерных, так двух-и трехмерных задач. В первом случае в качестве одномерного конечного элемента используют криволинейный стержень с переменной по длине площадью поперечного сечения с двумя (рис. 19, а) или более узловыми точками (рис. 19, б,в). При решении двухмерной задачи применяют главным образом треугольные и четырехугольные конечные элементы как линейные (рис. 20, а и б), так и криволинейные (рис. 20, в). В плоской задаче толщина элемента равна толщине детали и может меняться от элемента к элементу.
Если задача осесимметричная (расчет поршня, втулки и клапана), то конечный элемент представляет собой тело вращения, образуемое поворотом на 360° относительно оси z треугольника (рис. 21) или четырехугольника.
Для трехмерной задачи наибольшее распространение получили элементы в форме тетраэдра (рис. 22, а) и параллелепипе-—Ц да (рис. 22, б) как с прямолинейными гранями, так и с криволинейными.
После выбора в соответствии с классом задачи типа элементов тело сначала делят на зоны по каким-либо характерным признакам (особенность геометрии, нагружения.
Более мелкую разбивку применяют в местах больших градиентов температуры, концентрации напряжений (межклапанные перемычки, отверстия под форсунку в днище крышки цилиндра, кольцевые канавки в поршне). Важное значение имеет порядок нумерации узлов.
ства материала и т.д.), а затем на элементы. Далее нумеруют эти элементы и их узлы. В качестве примера на рис. 23 показано деление меридионального сечения клапана на элементы треугольного типа. Возможность изменения мелкости разбивки (размеров элементов) при переходе от одной части детали к другой является важным достоинством метода.
Решение задачи методом конечных элементов сводится в конечном счете к решению системы линейных алгебраических уравнений, неизвестными которой являются значения искомой функции в узлах сетки, покрывающей область, занятую телом. Системы, получающиеся при расчетах полей температур и перемещений основных деталей двигателя, имеют большой порядок. При рациональной нумерации узлов коэффициенты, отличные от нуля, группируют по обе стороны главной диагонали. Матрица коэффициентов имеет при этом ленточную структуру. Чем меньше ширина ленты, тем быстрее решается система уравнений на ЭВМ и тем точнее это решение.
МКЭ предусматривает аппроксимацию непрерывной функции, например температуры Т, перемещения / и т.д., ее дискретной моделью. В качестве функций, образующих такую модель, в пределах каждого отдельного элемента может быть выбран полином. Простейшие линейные элементы применимы при аппроксимации криволинейных границ, а соответствующие им математические зависимости наиболее просты. Такие элементы называют симлексными. Для них число коэффициентов в полиноме соответствующего элемента на единицу больше мерности задачи. Интерполяционные полиномы соответственно для одно- и двухмерных элементов в случае плоской и осе-симметричной задач.
Если коэффициенты а выразить через координаты узлов элемента и значения функции в этих узлах, то окончательно для одно- и двухмерного элементов зависимости (23) соответственно будут иметь вид.
Важной особенностью указанных систем алгебраических уравнений является то, что матрицы коэффициентов при неизвестных оказываются ред-козаполненными, т. е. большое число коэффициентов равно нулю.
Компоненты матрицы-строки Nl9 Nj, Nk называются функциями формы элемента. С помощью этих функций можно построить необходимые математические зависимости, используемые при минимизации соответствующего функционала.
IС помощью функции формы составляют необходимые математические зависимости для минимизации функционала и последующего получения системы а лгебраич еских уравнений относительно неизвестных узловых значений искомой функции. Желательно, чтобы эти зависимости были достаточно просты. Эта простота обеспечивается при использовании линейных интерполяционных полиномов.
Рис. 24. Система L-коор-динат для треугольного элемента
Формулы для Nj и Nk получают из выражений для N, круговой перестановкой индексов в соответствии с принятой нумерацией узлов элемента f, Ц к.
В матричном виде зависимости (24) имеют вид где [N] - матрица-строка, [N] = [N{NjNfc]; {Те}- вектор-стол-бец температур в узлах произвольного элемента.
Аналогично записывают и соотношения для трехмерного элемента (см. рис. 22,а), но выражения для Ni9 Nj, Nk и Nm в этом случае будут более сложными.
Выше были рассмотрены интерполяционные соотношения для скалярной величины (температуры). Векторную величину при интерполировании представляют через компоненты-проек-ции на оси координат, которые рассматривают в каждом узле как неизвестные скалярные величины. Например, в случае плоской или осесимметричной задач вектор перемещения будет вектор-столбец узловых перемещений, {8е} = [5|8j5k] =
Матричная форма записи является общей также для осесимметричной и объемной задач при соответствующих выражениях [N] и {8е}.
При решении задачи выполняют, в частности, дифференцирование и интегрирование различных выражений, содержащих функции формы. Все приведенные выше зависимости были представлены в так называемой общей (глобальной) для всего тела системе координат. Однако операции, связанные с интегрированием по площади элемента, проще выполнять в локальной системе координат, начало которой совпадает с центром тяжести рассматриваемого элемента. В случае треугольного элемента используют так называемые L-координаты (рис. 24). Для произвольной точки внутри элемента каждая из трех координат Llt L2, Щ представляет собой отношение расстояния от этой точки до стороны, противоположной соответственно вершинам i, j и fc, к высоте, опущенной из этой вершины на указанную сторону. Для треугольного симплекс-эле-мента Щ = Ll5 Nj = L2, a Nk = L3, т.е. координаты L являются функциями формы. Интегрирование вдоль стороны / и по площади А треугольного элемента проводят по следующим формулам.
Расчет теплового состояния деталей
Рассмотрим решение задачи стационарной теплопроводности в двухмерной постановке методом конечных элементов. Температуру в узлах области, занимаемой телом, определяют с помощью минимизации соответствующего функционала по искомым температурам узлов. Выражения функционалов для плоской и осесимметричной задач, которые получают из формулы (15).

Для плоской задачи элементарный объем dV = tdF, где dF В dxdy, а для осесимметричной dV = InrdF, где dF = drdz. Минимизация функционалов (28), (29) должна производиться на выбранном множестве узловых значений температур ПШВщЩ где число узлов п достаточно большое. Так как аппроксимирующие функции (25) определяются на отдельных элементах, то функционал, относящийся ко всей области, занимаемой телом, заменяется суммой функционалов отдельных элементов. Вклад отдельного элемента в общий функционал Ф(Т) обозначим Фе(Т).
Вклад в общую сумму дают только те элементы, которые содержат узел, по температуре которого вычислялись частные производные. Вклад остальных элементов равен нулю. Этим и объясняется ленточный характер матрицы коэффициентов окончательной системы алгебраических уравнений л-го порядка относительно п неизвестных значений температуры в узлах.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 



  Разработано специально для liciss.ru, все права защищены.
Копирование материалов сайта разрешается только с указанием прямой индексируемой ссылки на источник.