Меню раздела

Критерий устойчивости Михайлова


Критерий устойчивости Михайлова удобен при исследовании устойчивости систем, переходные процессы которых описываются уравнениями более высоких порядков.
Пусть процессы исследуемой системы описываются линейным дифференциальным уравнением, например, четвертого порядка с постоянными коэффициентами.
Каждый из двучленов уравнения (396) является комплексным числом и поэтому может быть представлен в виде вектора на комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат-мнимую (рис. 321, а). Все действительные части двучленов, образованных положительными корнями характеристического уравнения, откладывают по оси абсцисс влево, а все действительные члены двучленов, образованные отрицательными корнями характеристического уравнения,-вправо. По оси ординат откладывают мнимую величину /О, а частота П, принимаемая в качестве переменной, изменяется от — оо до + оо.
При О. = 0 все векторы двучленов совпадают с осью абсцисс. При С1>0 векторы 1, 2, 3 и 4 поворачиваются по мере
Критерий Михайлова сводится к следующему: переходные процессы являются сходящимися, а система автоматического регулирования устойчивой только в том случае, когда годограф вектора Я (О) уравнения л-го порядка при изменении П от 0 до +оо проходит последовательно п квадрантов и поворачивается против часовой стрелки, увеличения П от горизонтального положения при П = 0 до вертикального при О = + оо. Таким образом, при изменении О от О до + оо все векторы поворачиваются на угол я/2. Если корень отрицательный, то вектор при 0 < П < + оо направлен вправо, и поворот на угол л/2 осуществляется против часовой стрелки; если корень положительный, то вектор направлен влево и поворачивается на угол я/2 по часовой стрелке.
Используя аналогичный метод, можно показать, что вектор, образованный произведением двух двучленов, при изменении О, от 0 до +оо повернется на угол 2я/2 против часовой стрелки, если оба корня характеристического уравнения отрицательные. Это справедливо и для комплексных сопряженных корней с отрицательной действительной частью.
Увеличение числа двучленов в произведении на единицу при тех же условиях (отрицательная действительная часть корня» вызовет увеличение угла поворота вектора произведения против часовой стрелки на угол я/2, если и изменяется от 0 до — х.
Аналогично может быть получен вектор характеристического уравнения в виде Я(П:) = х(П) + 1у(0).
Для уравнения четвертой степени х(П) = Л4П4 — А2&2 + А у(П) = А30? + АгС1.
Переходные процессы являются сходящимися, а система автоматического регулирования устойчивой только в том случае, если все действительные корни, а также все действительные части всех комплексных сопряженных корней характеристического уравнения являются отрицательными величинами. В этом случае вектор Я(П) системы четвертого порядка повернется против часовой стрелки на угол 4я/2 при изменении ^ от 0 до + оо. Годографы вектора Я(Ф) (рис. 321,6) проходят в последнем случае против часовой стрелки столько квадрантов, сколько единиц в порядке дифференциального уравнения.
Если среди п корней характеристического уравнения имеется т корней положительных (действительных или с положительной действительной частью), то вектор Я(П) повернется против часовой стрелки на угол (п — 2т)я/2 при изменении О от О до +оо. Такой поворот вектора свидетельствует о расходимости переходного процесса и, следовательно, о неустойчивости системы регулирования. Примеры годографов вектора Я(П) при расходящихся процессах изображены на рис. 321, в-д.