Меню раздела

Частотный критерий устойчивости


Если одну из связей между элементами системы автоматического регулирования нарушить (например, по регулируемому параметру ср, см. рис. 316), то такая система автоматического регулирования называется разомкнутой. Ее входной координатой фвх является изменение угловой скорости вала регулятора, а выходной координатой фвых-изменение угловой скорости вала двигателя.
Сопоставление выражения (398) с выражениями (319) и (337) показывает, что У(Ф) = УцО’П) Ур0‘П). Так как Уд(10) = = Ад(П)е*Уд^ и в соответствии с формулой (373) Ур(Ю) = = Лр(Г2)е‘тР(П),то У(Й2) = 4д(0Мр(й)е'[Та(П>+ ур(П)] = 4(Й)е^(П), т. е. амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы А (Л) получается перемножением амплитудных частотных характеристик элементов, а фазовая частотная характеристика системы у (П)-сложением фазовых частотных характеристик элементов.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (рис. 323) дает возможность судить об устойчивости соответствующей замкнутой системы автоматического ре-, гулирования. На этом основан частотный критерий устойчивости Найквиста, для нахождения которого необходимо рассмотреть выражение 1 + У(&1).
При выводе частотного критерия устойчивости удобно вначале рассматривать лишь те системы автоматического регулирования, которые являются устойчивыми в разомкнутом состоянии. К числу таких систем относятся, например, разомкнутая система, в уравнение (397) которой входят собственные операторы (318) и (336) при кд > 0. При этом условии все корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют отрицательные действительные части, а вектор этого уравнения
Р(ш)) = х(П) + гу(П)
в комплексной плоскости [х(О); *у(Ф)] ПРИ изменении О от 0 до + оо поворачивается против часовой стрелки на угол пл/2 (где п- порядок дифференциального уравнения системы).
Если система автоматического регулирования (замкнутая система) является также устойчивой, то все корни Характеристического уравнения замкнутой системы (377) также должны иметь отрицательные действительные части, а вектор этого уравнения.
Как было отмечено выше, при устойчивых замкнутых и разомкнутых системах векторы выражений (400) и (401) поворачиваются при изменении частоты П от 0 до +00 против часовой стрелки на одинаковые углы пп/2, что свидетельствует о равенстве аргументов у#(П) = ур(П) и нулевом суммарном угле поворота вектора 1 + У(&2), как это видно из выражения (4021
Если замкнутая система неустойчива, то уя(^) Ф пп 1 и тогда ун(П) - ур(П) ф 0.
Таким образом, критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован следующим образом: система автоматического регулирования устойчива, если вектор 1 + У(Ш) при изменении частоты П от 0 до + оо имеет нулевой суммарный угол поворота.
На рис. 323, а вектор У{Ю) изображается прямой Ой, и так как прямая СО является вектором, равным единице, то вектор 1 + У(/П) определяется прямой Сй. При изменении частоты П от 0 до +оо конец этого вектора движется по амплитуднофазовой частотной характеристике, а сам он поворачивается около точки С. Суммарный угол поворота вектора 1 + У(*П) будет равен нулю только в том случае, если вся амплитуднофазовая частотная характеристика расположена правее точки С( — 1; 0) и не охватывает ее. Если амплитудно-фазовая частотная характеристика охватывает точку С ( — 1; 0), как это показано на рис. 323,6, то суммарный угол поворота вектора 1 + У(&}) при изменении О от 0 до + оо окажется не равным нулю, что свидетельствует о неустойчивости рассматриваемой системы автоматического регулирования.
Если среди п корней разомкнутой системы автоматического регулирования т корней положительные, то вектор Р(Ш) (402) при изменении П от 0 до + оо повернется против часовой стрелки на угол (л — 2т)п/2, в то время как поворот вектора Я 0*0) в случае устойчивой системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии составит угол пп/2 против часовой стрелки.
Следовательно, если разомкнутая система автоматического регулирования имеет т корней положительных действительных или комплексных сопряженных с положительной действительной частью, то для устойчивости соответствующей замкнутой
системы автоматического регулирования вектор 1 + У(&1) при изменении П от 0 до + оо должен повернуться на угол тк против часовой стрелки. Так, например, на рис. 323, в приведена амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы, имеющей один положительный корень характеристического уравнения. Соответствующая замкнутая система автоматического регулирования устойчива, так как угол охвата точки С ( — 1; 0) составляет тк при т = 1 против часовой стрелки при изменении О от 0 до -I- оо. На рис. 322, г амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы протекает так, что при изменении Ф от 0 до + оо суммарный угол поворота вектора 1 + У(Ш) составит тк (при т = 1), но по часовой стрелке. Следовательно, соответствующая замкнутая система автоматического регулирования неустойчива.